- 21 Sep, 2022
- 0 Comments
- 10 Mins Read
Le cercle trigonométriques et ses applications
Certains d’entre vous ont entendu parler ou même utilisé des fonctions trigonométriques. C’est-à-dire les fonctions sinus, cosinus et tangente. À première vue, elles peuvent nous sembler simples à calculer. On appuie sur une touche de la calculatrice, on entre une valeur et l’on obtient le résultat. Comment pourrions-nous calculer l’une de ces valeurs sans l’aide de la calculatrice? Qu’en est-il de la définition de ces fonctions? J’ai plusieurs réponses. En voici un exemple :
Il existe bien sûr en mathématique des définitions encore bien plus compliquées, mais celles-ci font tout de même intervenir les séries entières qui mériteraient elles-mêmes leur propre page de blogue. Heureusement, il existe d’autres définitions. L’une d’entre elles provient du cercle trigonométrique, le sujet du présent article.
Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle
Tout d’abord, avant de définir les fonctions trigonométriques à partir du cercle unité, il est important de savoir les définir à partir des triangles rectangles. Vous avez déjà entendu… SOH-CAH-TOA? Il s’agit effectivement des rapports trigonométriques dans le triangle rectangle!
Dans ce triangle, on retrouve , soit l’hypoténuse. L’hypoténuse est définie comme étant le plus grand côté d’un triangle rectangle. On a aussi et , les cathètes. Il y a aussi les angles et qui sont les angles opposés, respectivement, aux côtés a, b et c.
Vous aurez compris ce qu’est un angle opposé à un côté, vice versa. Ensuite, il faut comprendre ce qu’est un côté adjacent à un angle. Dans un triangle rectangle, un côté adjacent à un angle est le côté qui joint notre angle à l’angle droit. Par exemple, le côté adjacent à l’angle est le côté a. Il est à noter que l’hypoténuse n’est jamais un côté adjacent et qu’on ne parle jamais du côté adjacent à l’angle droit. Cela serait contradictoire avec la définition.
Voici maintenant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle :
Jusqu’ici, tout va bien. Avec quelques instruments de géométrie, on arrive à dessiner un triangle rectangle avec l’angle dont on veut calculer le sinus, par exemple, et l’on n’a qu’à mesurer le côté opposé à l’angle et l’hypoténuse afin d’effectuer ce calcul. Il y a cependant un petit problème. Peut-on calculer le sinus de n’importe quel angle avec cette méthode? Comment peut-on tracer un triangle avec un angle de 270° ? Qu’en est-il pour les angles négatifs? C’est le moment d’introduire le cercle trigonométrique!
Le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est-ce qu’on appelle un cercle unité. C’est un cercle de rayon 1, centré à l’origine. On remarque que lorsqu’on trace le rayon du cercle, on crée un triangle rectangle avec une hypoténuse de 1 unité et des cathètes valant chacune x et y, soit la coordonnée du point A. Calculons les valeurs de x et de y à partir des rapports trigonométriques. 
Pour un angle quelconque, la coordonnée du point A est donc . Vous aurez peut-être remarqué que nous ne sommes plus limités aux angles se trouvant entre 0° et 90° comme nous l’étions avec la méthode précédente. Voyez ce qu’il arrive lorsque nous dépassons 90°.
On obtient encore un triangle rectangle. Cette fois-ci, il se trouve dans un cadran différent, mais il est possible d’obtenir les valeurs qui nous intéressent avec la même méthode. Par contre, dans le nouveau triangle formé, l’angle opposé au côté y n’est pas 120°. C’est plutôt 60°. Ces angles sont supplémentaires. Il faut donc ajuster le signe des coordonnées selon le cadran si on les mesure avec un instrument pour en faire le rapport.
[0°, 90°] : (+, +)
[90°, 180°] : (-, +)
[180°, 270°] : (-, -)
[270°, 360°] : (+, -)
Des valeurs telles que le sinus et le cosinus de 30° ou encore de 135° sont appelées valeurs remarquables. On place souvent ces valeurs du cercle trigonométrique pour s’en servir comme outils.
Grâce à cet outil, il est facile d’obtenir rapidement la valeur du sinus ou du cosinus d’un angle commun sans utiliser la calculatrice. Vous avez probablement remarqué la constante qui revient à côté des angles en degré. Ces valeurs sont en fait l’équivalent en radians. correspondent à 360°.
Ensuite, au-delà des valeurs remarquables, le cercle trigonométrique peut nous aider à visualiser les fonctions sinus et cosinus qui sont des fonctions périodiques.
On voit ici comment le sinus varie selon la valeur en y dans le cercle unité et le cosinus, selon la valeur en x.
Applications de la trigonométrie
Les applications de la trigonométrie sont nombreuses. On en retrouve de près ou de loin dans presque tous les domaines. On l’utilise en physique pour étudier les phénomènes d’ondes, en architecture pour calculer la portée d’éléments diagonaux, en ingénierie pour calculer la distribution des forces et ce ne sont que quelques exemples. Une application intéressante de la trigonométrie a été utilisée par Aristarque de Samos. Aristarque était un astronome et un mathématicien, né vers 310 av. J.-C. À l’aide de la trigonométrie, Aristarque a été en mesure de calculer la distance relative entre la Terre et la Lune et la Terre et le Soleil. J’aimerais maintenant vous montrer comment il a pu utiliser les concepts vus plus haut.
La méthode d’aristarque de Samos
Pour cet exercice, nous allons considérer que le Soleil et la Terre sont fixes alors que la Lune effectue une orbite circulaire à vitesse constante autour de la Terre. Évidemment, cela ne représente pas la réalité. Il est aussi à noter qu’à l’époque d’Aristarque, les fonctions trigonométriques n’existaient pas.
D’abord, il faut arriver à visualiser comment la Terre, la Lune et le Soleil forment un triangle rectangle à un certain moment au cours du mois. Il s’agit du moment où nous observons un quartier de Lune dans le ciel. Voici une illustration pour vous aider :
Figure 8 – Schéma de la position de la Terre, de la Lune et du Soleil au moment de l’observation d’un quartier de Lune
Sur la Figure 8, nous voyons que la moitié de la Lune est éclairée par le Soleil. Lorsqu’on observe la Lune depuis la Terre, nous pouvons donc en apercevoir le quart. Notez que le schéma n’est pas du tout à l’échelle et que l’observateur imaginaire du quartier de Lune se trouve au centre de la Terre, comme si la Terre était un point. La Terre, la Lune et le Soleil forment donc un triangle rectangle. C’est-à-dire que les rayons du Soleil qui atteignent la Lune doivent forcément être perpendiculaires au segment entre l’observateur et la Lune pour qu’il en observe le quart.
Tout ce qu’il faut déterminer maintenant, c’est l’angle afin d’être en mesure de calculer la distance relative entre la Terre et la Lune et la Terre et le Soleil. Comme nous avons déjà déterminé que l’angle est de 90°, un autre angle nous permettra de résoudre n’importe quel triangle semblable à partir d’une seule mesure. En effet, si nous utilisons les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle, nous pouvons calculer que :
Si l’on arrive à déterminer la valeur de , il suffit de connaître un seul côté du triangle pour calculer tous les autres. Par exemple, supposons que nous connaissons l’angle et la distance entre la Terre et la Lune, C.
Maintenant, nous connaissons la valeur de A! Il ne nous reste que B, la distance entre la Terre et le Soleil à calculer. Il suffit d’utiliser le rapport correspondant au sinus ou au cosinus pour l’obtenir.
Aristarque n’a pas été en mesure d’obtenir une distance à cette étape, mais il a réussi à trouver une valeur pour l’angle . Vous savez probablement qu’il y a deux quartiers de Lune différents. C’est-à-dire, le premier et le dernier quartier. Le cycle de la Lune, aussi appelé lunaison et correspondant à la durée nécessaire pour retourner à une phase initiale, dure environ 29,5 jours (29 jours, 12 heures, 44 minutes) (1). Aristarque s’attend d’abord à ce que la durée s’écoulant entre ces deux phases soit d’une demi-lunaison. Il observe cependant que le premier quartier a environ 6h d’avance et que le dernier a environ 6h de retard, les rapprochant de 12h (2). Ces deux quartiers ne se trouvent pas pile au-dessus et au-dessous de la Terre comme il le croyait au départ, comme à la Figure 9. Les 6h d’avance et de retard correspondent à l’angle sur la Figure 10.
On voit bien que les angles et forment ensemble un angle de 90°. Il suffira donc de soustraire l’angle à 90° pour trouver l’angle . Considérant que, selon ses observations, la Lune prend 6 h à effectuer l’angle et un cycle complet dure 29,5 jours (708 h), nous pouvons donc associer 708 h à 360° et 6 h à et nous avons la relation suivante :
Nous pouvons résoudre l’équation à l’aide d’un simple produit croisé.
Ainsi, pour l’angle ,
Ainsi nous trouvons l’angle est environ égal à 87°.
Comme je vous l’ai dit plus tôt, une fois que nous connaissons l’angle , il est possible de calculer les distances à partir d’une seule d’entre elles. Je vous invite à calculer la distance entre la Terre et le Soleil, sachant que la distance moyenne entre la Terre et la Lune est d’environ 385 000 km (3). Vous pouvez vous référer à la Figure 8 et à l’équation (8).
Sans utiliser les fonctions trigonométriques, c’est-à-dire en traçant un triangle semblable et en calculant le rapport entre les deux distances, Aristarque arrive au résultat que la distance entre la Terre et le Soleil est entre 18 et 20 fois supérieure à celle entre la Terre et la Lune. Obtenez-vous ce même résultat?
La distance entre la Terre et le Soleil est une distance bien importante. C’est à partir de cette distance qu’a été déterminée l’unité astronomique (UA) utilisé en astronomie. En moyenne, la distance entre la Terre et le soleil est de 149 597 870 km. (4) On parle de moyenne ici, car la distance entre la Terre et le Soleil, tout comme celle entre la Terre et la Lune, varie selon les positions dans l’orbite qui est elliptique et non circulaire. Vous aurez probablement remarqué que le résultat que vous avec obtenu n’est pas du tout le bon. Je vous invite donc, pour terminer, à réfléchir aux causes possibles de cet énorme écart.
Indice : Calculez de nouveau la distance entre la Terre et le Soleil, mais en changeant légèrement l’angle.
Références
- Martens, Marc. Le cycle de la Lune • Société Astronomique de Liège. Société Astronomique de Liège. [En ligne] 19 Septembre 2022. http://societeastronomique.uliege.be/astronomie-pratique/articles/le-cycle-de-la-lune/.
- Brière, Thierry. Aristarque de Samos et la mesure de l’univers. Université de La Réunion. [En ligne] 19 Septembre 2022. https://hal.univ-reunion.fr/hal-02185002/document.
- NASA. Overview | Earth’s Moon – NASA Solar System Exploration. NASA Solar System Exploration. [En ligne] 19 Septembre 2022. https://solarsystem.nasa.gov/moons/earths-moon/overview/.
- XXVIIIe Assemblée générale de l’Union astronomique internationale. Résolution UAI 2012 B2: (Version française) : Re-définition de l’unité astronomique de longueur. International Astronomical Union | IAU. [En ligne] 19 Septembre 2022. https://www.iau.org/static/resolutions/IAU2012_ResolB2_French.pdf.
Vous avez encore de la difficulté à comprendre cette notion? Réservez un cours individuel pour reprendre la matière à votre rythme : Tutorat individuel La 2e Classe
Nous offrons aussi des cours de groupe en mathématique (SN ou CST) pour les élèves éduqués à domicile Mathématiques – Secondaire La 2e Classe
Informez-vous aussi sur notre service de préparation aux examens ministériels en mathématique : Préparation aux examens ministériels La 2e Classe
